Question

tìm m để hàm số \(\frac{x}{2}+m\sqrt{x^2+2}\) có cực đại

Answer 1

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Xét $f(x)=\frac{x}{2}+m\sqrt{x^2+2}$

Để $f(x)$ có cực đại tại điểm $x_0\in D$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=\frac{1}{2}+\frac{mx_0}{\sqrt{x_0^2+2}}=0\\ f''(x_0)=\frac{2m}{\sqrt{(x_0^2+2)^3}}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x_0^2+2}=-2mx_0\\ m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx_0\leq 0\\ x_0^2(4m^2-1)=2\\ m< 0\end{matrix}\right.\)

Điều này xảy ra khi $4m^2-1>0$ và $m< 0$

Hay $m< \frac{-1}{2}$