\(2x^2-7x+3\le0\Rightarrow\frac{1}{2}\le x\le3\) (1)
Xét \(x^2-kx+k\le0\) có \(\Delta=k^2-4k\)
- Với \(0< k< 4\Rightarrow\Delta< 0\Rightarrow x^2-kx+k>0\) \(\forall x\)
\(\Rightarrow BPT\) vô nghiệm
- Với \(\left[{}\begin{matrix}k\le0\\k\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) nghiệm của BPT là: \(\frac{k-\sqrt{k^2-4k}}{2}\le x\le\frac{k+\sqrt{k^2-4k}}{2}\) (2)
Hệ vô nghiệm khi (1) và (2) giao nhau bằng rỗng
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{k+\sqrt{k^2-4k}}{2}< \frac{1}{2}\\\frac{k-\sqrt{k^2-4k}}{2}>3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{k^2-4k}< 1-k\\\sqrt{k^2-4k}< k-6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k^2-4k< \left(1-k\right)^2\\k^2-4k< \left(k-6\right)^2\end{matrix}\right.\) (điều kiện dòng trên là \(k\le1\), dòng dưới là \(k\ge6\))
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2k+1>0\\-2k+9>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k>-\frac{1}{2}\\k< \frac{9}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{1}{2}< k\le1\)
Kết hợp \(\left[{}\begin{matrix}k\ge4\\k\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{1}{2}< k\le0\)
Vậy \(-\frac{1}{2}< k< 4\)
