Question

Tìm hệ số của x^7 trong khai triển nhị thức Newton của ( x^2-2/x)n biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn a3n -2c2n =4c3 n+1 (Toán học - Lớp 11)

Answer 1

\(A^3_n-2\cdot C^2_n=4C^3_{n+1}\)(ĐK: n>=3)

=>\(\dfrac{n!}{\left(n-3\right)!}-2\cdot\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!\cdot1}=4\cdot\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-2\right)!\cdot3!}\)

=>\(n\left(n-1\right)\left(n-2\right)-n\left(n-1\right)=4\cdot\dfrac{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}{6}\)

=>n(n-1)(n-3)=2/3(n-1)*n*(n+1)

=>n(n-1)(n-3-2/3n-2/3)=0

=>1/3n-11/3=0

=>n=11

=>(x^2-2/x)^11

SHTQ là: \(C^k_{11}\cdot\left(x^2\right)^{11-k}\cdot\left(-\dfrac{2}{x}\right)^k=C^k_{11}\cdot\left(-2\right)^k\cdot x^{22-3k}\)

SHTƯ với x^7 sẽ tương ứng vơi 22-3k=7

=>k=5

=>Hệ số là \(C^5_{11}\cdot\left(-2\right)^5\)