\(\left(x-1\right).f\left(x\right)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x-1}\) (1)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{x}-1\right).f\left(\dfrac{1}{x}\right)+f\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1-x}{x}\right).f\left(\dfrac{1}{x}\right)+f\left(x\right)=\dfrac{x}{1-x}\) (2)
Nhân 2 vế của \(\left(2\right)\) với \(\dfrac{x}{1-x}\) ta được:
\(f\left(\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{x}{1-x}\right).f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{\left(1-x\right)^2}\) (3)
Trừ vế với vế của (1) cho (3):
\(\left(x-1\right).f\left(x\right)-\left(\dfrac{x}{1-x}\right).f\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x^2}{\left(1-x\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1-\dfrac{x}{1-x}\right).f\left(x\right)=\dfrac{x-1-x^2}{\left(1-x\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-x^2+x-1}{1-x}\right).f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+x-1}{\left(1-x\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{1-x}\)
Thử lại: \(\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{1-x}\right)+\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}}=-1+\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}\) (đúng)
Vậy hàm số cần tìm là \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1-x}\)
\(\dfrac{f\left(1\right)}{x}\) hay \(f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) bạn?
Hàm số không xác định tại \(x=1\) thì làm sao có \(f\left(1\right)\) như đề cho được?
