Question

Tìm GTNN của \(P=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}\)

với \(a,b>0\) . Thỏa mãn \(a.b=1\)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^3}{b+1}+\frac{b+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+1}.\frac{b+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}a\)

\(\frac{b^3}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3b}{2}\)

Cộng theo vế và rút gọn, tiếp tục áp dụng AM-GM:

\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(a+b)-\frac{3}{2}\geq \frac{5}{4}.2\sqrt{ab}-\frac{3}{2}=\frac{5}{4}.2-\frac{3}{2}=1\)

Vậy $P_{\min}=1$ khi $a=b=1$