Ta có: \(2x^2-4xy+4y^2+2x+5\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2+2x+1\right)+4\)
\(=\left(x-2y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4\)
Ta có: \(\left(x-2y\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)
Do đó: \(\left(x-2y\right)^2+\left(x+1\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4\ge4\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1-2y=0\\x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y=1\\x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\frac{1}{2}\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x^2-4xy+4y^2+2x+5\) là 4 khi x=-1 và \(y=-\frac{1}{2}\)
