Question

Tìm GTLN của biểu thức sau :

a) \(A=2x-6\sqrt{x}-1\)

b)\(C=\frac{1}{-2x+4\sqrt{x}+3}\)

c)\(E=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

d)\(F=\sqrt{2x-7}+\sqrt{5-2x}\)

e) \(A=-3x+6\sqrt{x}+3\)

f) \(E=\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-8}\)

g)\(F=\sqrt{3x-2}+\sqrt{5-3x}\)

giúp mình với ạ

Answer 1

a) ĐK: $x\geq 0$

\(A=2x-6\sqrt{x}-1=2(x-3\sqrt{x}+\frac{3^2}{2^2})-\frac{11}{2}\)

\(=2(\sqrt{x}-\frac{3}{2})^2-\frac{11}{2}\geq \frac{-11}{2}\)

Vậy GTNN của $A$ là $\frac{-11}{2}$. Giá trị này đạt được tại \((\sqrt{x}-\frac{3}{2})^2=0\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}\)

b) Không đủ căn cứ để tìm min- max

c)

\(E=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}=\sqrt{(2x-1)^2}+\sqrt{(2x-3)^2}\)

\(=|2x-1|+|2x-3|\)

Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

\(E=|2x-1|+|3-2x|\geq |2x-1+3-2x|=2\)

Vậy $E_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $(2x-1)(3-2x)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$

Answer 2

d) ĐKXĐ: \(\frac{7}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}\) (vô lý)

e)

\(A=-3x+6\sqrt{x}+3=6-3(x-2\sqrt{x}+1)=6-3(\sqrt{x}-1)^2\)

\(\leq 6\) do $(\sqrt{x}-1)^2\geq 0$ với mọi $x\geq 0$)

Vậy $A_{\max}=6$. Giá trị này xác định tại $(\sqrt{x}-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$

f) ĐK: $x\geq 4$

\(E^2=4x-7-2\sqrt{(2x+1)(2x-8)}\)

Với mọi $x\geq 4$ thì:

\(2x+1> 2x-8\Rightarrow (2x+1)(2x-8)\geq(2x-8)^2\)

\(\Rightarrow E^2\leq 4x-7-2\sqrt{(2x-8)^2}=4x-7-2(2x-8)=9\)

$\Rightarrow E\leq 3$

Vậy $E_{\max}=3$ khi $2x-8=0\Leftrightarrow x=4$