Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp BĐT AM-GM:
$A^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x+xy}+\sqrt{y}.\sqrt{y+yx})^2$
$\leq (x+y)(x+xy+y+yx)=(x+y)(x+y+2xy)=2xy+1\leq \frac{(x+y)^2}{2}+1=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Vậy $A_{\max}=\sqrt{\frac{3}{2}}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
--------------
Tìm max:
Áp dụng BĐT $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$ (có thể CM đơn giản bằng cách bình phương 2 vế):
$A=\sqrt{x^2+xy}+\sqrt{y^2+yx}\geq \sqrt{x^2+xy+y^2+yx}=\sqrt{(x+y)^2}=\sqrt{1^2}=1$
Vậy $A_{\min}=1$
Giá trị này đạt tại $x\sqrt{1+y}=0$ hoặc $y\sqrt{1+x}=0$ hay $(x,y)=(1,0)$ hoặc $(0,1)$
