Question

Tìm giá trị của k để min của hàm số \(y=\frac{k.sinx+1}{cosx+2}>-1\)

Answer 1

\(y=\frac{ksinx+1}{cosx+2}\Leftrightarrow y.cosx+2y=ksinx+1\)

\(\Leftrightarrow k.sinx-ycosx=2y-1\)

\(\Rightarrow k^2+y^2\ge\left(2y-1\right)^2\Leftrightarrow k^2+y^2\ge4y^2-4y+1\)

\(\Leftrightarrow3y^2-4y+1-k^2\le0\)

\(\Delta'=4-3\left(1-k^2\right)=3k^2+1\)

\(\Rightarrow\frac{2-\sqrt{3k^2+1}}{3}\le y\le\frac{2+\sqrt{3k^2+1}}{3}\)

\(\Rightarrow y_{min}=\frac{2-\sqrt{3k^2+1}}{3}>-1\Rightarrow\sqrt{3k^2+1}< 5\)

\(\Rightarrow k^2< 8\Rightarrow-2\sqrt{2}< k< 2\sqrt{2}\)