a)P lớn nhất khi \(x^2+2x+6\) nhỏ nhất
Ta có: \(x^2+2x+6\\ =x^2+2.x.1+1^2+5\\ =\left(x+1\right)^2+5\ge5\)
=>GTNN của $x^2+2x+6$ là 5
Vậy GTLN của \(P=\frac{1}{x^2+2x+6}\)là \(\frac{1}{5}\)
a) \(P=\frac{1}{x^2+2x+6}=\frac{1}{x^2+2x+1+5}=\frac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\)
Tử thức P là hằng số dương nên P đạt giá trị
lớn nhất khi mẫu thức của nó nhận giá trị nhỏ nhất
Vì \(\left(x+1\right)^2+5\ge5\) với mọi x và \(\left(x+1\right)^{^{ }2}+5\)
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi x+1=0 <=>x=-1
Vậy P đạt giá trị lớn nhất MaxP=1/5 khi x=-1
b) \(Q=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}\)
\(=\frac{x^2+2x+1-x}{x^2+2x+1}\)
\(=\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+1}-\frac{x}{x^2+2x+1}\)
\(=1-\frac{x}{\left(x+1\right)^2}=1-\frac{x+1-1}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=1-\frac{x+1}{\left(x+1\right)^2}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=1-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1\)
\(=-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le\frac{5}{4}\) (vì \(-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\right)^2\le0\))
Vậy MinQ=5/4<=>\(-\left(\frac{1}{X+1}+\frac{1}{2}\right)^2=0\) =>x=-3