Lời giải:
\(5^x=y^2+y+1\)
TH1: Nếu \(x=0\Rightarrow y^2+y+1=1\Leftrightarrow y(y+1)=0\)
Vì \(y\in\mathbb{N}\Rightarrow y=0\)
TH2: Nếu \(x\geq 1\)
Ta có: \(4.5^x=4y^2+4y+4=(2y+1)^2+3\)
Với \(x\geq 1\Rightarrow 4.5^x\vdots 5\Rightarrow (2y+1)^2+3\vdots 5\)
Đặt \(2y+1=a\Rightarrow a^2+3\vdots 5\) (*)
Xét :
\(a=5k\Rightarrow a^2+3=25k^2+3\not\vdots 5\)
\(a=5k+1\Rightarrow a^2+3=(5k+1)^2+3=5(5k^2+2k)+ 4 \not\vdots 5\)
\(a=5k+2\Rightarrow a^2+3=(5k+2)^2+3=5(5k^2+4k+1)+2\not\vdots 5\)
\(a=5k+3\Rightarrow a^2+3=(5k+3)^2+3=5(5k^2+6k+2)+2\not\vdots 5\)
\(a=5k+4\Rightarrow a^2+3=(5k+4)^2+3=5(5k^2+8k+3)+4\not\vdots 5\)
Từ các điều trên có thể thấy với mọi $a$ thì \(a^2+3\not\vdots 5\) , trái với (*) nên TH2 vô lý
Vậy \((x,y)=(0;0)\)
