Question

Tìm các số nguyên tố p,q sao cho pq+5 và p+7q đều là các số nguyên tố.

Answer 1

Nếu p;q đều lẻ thì pq lẻ \(\Rightarrow pq+5\) là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số \(\Rightarrow\) loại

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}p=2\\q=2\end{matrix}\right.\) và chúng ko thể đồng thời bằng 2

- Nếu \(p=2\Rightarrow2q+5\) và \(7q+2\) đều là SNT

TH1: \(q=3k\Rightarrow q=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2q+5=11\\7q+2=23\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

TH2: \(q=3k+1\Rightarrow7q+2=3\left(7k\right)+9⋮3\) là hợp số (loại)

TH3: \(q=3k+2\Rightarrow2q+5=6k+9⋮3\) (loại)

- Nếu \(q=2\Rightarrow2p+5\) và \(p+14\) đều là SNT

TH1: \(p=3k=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2p+5=11\\q+14=17\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

Th2: \(p=3k+1\Rightarrow p+14=3k+15⋮3\) (loại)

Th2: \(p=3k+2\Rightarrow2p+5=6k+9⋮3\) (loại)

Vậy \(\left(p;q\right)=\left(2;3\right);\left(3;2\right)\)