Question

Tập các giá trị của m để phương trình \(\cos4x=\cos^23x+m\sin^2x\) có nghiệm \(x\in\left(0;\frac{\pi}{12}\right)\) là (a;b) . Tính giá trị của biểu thức a + 2b ?

Answer 1

\(2cos^22x-1=\frac{1+cos6x}{2}+m\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos^22x-2=1+4cos^32x-3cos2x+m\left(1-cos2x\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos^32x-4cos^22x-3cos2x+3+m\left(1-cos2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(4cos^22x-3-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=1\left(l\right)\\cos^22x=\frac{m+3}{4}\end{matrix}\right.\)

Do \(x\in\left(0;\frac{\pi}{12}\right)\Rightarrow\frac{3}{4}< cos^22x< 1\Rightarrow\frac{3}{4}< \frac{m+3}{4}< 1\)

\(\Rightarrow0< m< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=1\end{matrix}\right.\)