Question

Tam giác ABC có AB=AC.Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB=MC;N là trung điểm của BC.Chứng minh:

a) AM là tia phân giác của góc BAC

b) Ba điểm A,M,N thằng hàng

c) MN là đường trung trực của BC

Answer 1

a) Xét \(\Delta AMB \) và \(\Delta AMC \) có:

AB=AC

AM chung

MB=MC

Do đó \(\Delta AMB \)=\(\Delta AMC \)(c-c-c)

Vậy \(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)( hai góc tương ứng)

Do đó AM là tia phân giác của góc BAC

B) Xét hai \(\Delta ANB\) và \(\Delta ANC\) ta có:

AB=AC

AN chung

NB=NC

Do đó \(\Delta ANB\)=\(\Delta ANC\)(c-c-c)

Vậy \(​\widehat{NAB}=\widehat{NAC}​\)(hai góc tương ứng)

Do đó AN là tia phân giác của góc BAC

Vì Am và An đều là tia phân giác cuar góc BAC nên tia AM và An trùng nhau hay ba điểm A,M,N thẳng hàng

c) Vì \(\Delta ANB\)=\(\Delta ANC\) nên \(\widehat{ANB}=\widehat{ANC}\)(hai góc tương ứng)

Do đó \(\widehat{ANB}=\widehat{ANC}=90^o\), suy ra \(AN\perp BC\). Mặt khác ba điểm A,M,N thẳng hàng nên \(MN \perp BC\). ta lại có N là trung điểm của BC nên MN là đường trung trực của BC

Answer 2

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có :

AM: chung ; AB = AC ; BM = CM

\(\Rightarrow\) \(\Delta AMB\) = \(\Delta AMC\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) hay AM là phân giác \(\widehat{ABC}\)

b) Xét \(\Delta ANB\) và \(\Delta ANC\) có :

AN : chung ; AB = AC ; BN = CN

\(\Rightarrow\) \(\Delta ANB\) = \(\Delta ANC\)

\(\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{NAC}\)

\(\Rightarrow AN\) là phân giác \(\widehat{BAC}\) mà AM cũng là phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\) A ; M ; N thẳng hàng

c) Có \(\Delta ANB\) = \(\Delta ANC\)

\(\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MNC}\)

mà \(\widehat{MNB}+\widehat{MNC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MNC}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow MN\perp BC\)

Mà N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung trực của BC

Answer 3

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM-chung\\MB=MC\left(gt\right)\\AB=AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\rightarrowđpcm\)

b) ta có:

AN là trung tuyến của tam giác ABC,kéo dài AM suy ra AM là trung tuyến của MBC hay của ABC

\(\Rightarrow A;M;N\) thẳng hàng

c) ta có \(AN\perp BC;NB=NC\) (do N là trung điểm BC,AN là trung tuyến cũng là đg cao)

\(\Rightarrow AN\) hay MN là trung trực of BC