ĐK: \(1\le x\le6\)
Đặt \(t=\sqrt{x-1}+\sqrt{6-x}\left(t\ge0\right)\)
\(t^2=5+2\sqrt{-x^2+7x-6}\)\(\Leftrightarrow t^2-5=2\sqrt{-x^2+7x-6}\)
pt\(\Leftrightarrow\frac{t^2-5}{2}+t=5\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-5\end{matrix}\right.\)=>t=3(tm)\(\Rightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{6-x}=3\)\(\Leftrightarrow x=2\left(tm\right)\)
KL : Vậy S={2}.
Một cách làm khác
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{6-x}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(6-x\right)}=5\)
Điều kiện ( 1<=x<=6)
Đặt \(\sqrt{x-1}=a;\sqrt{6-x}=b\) ta có hệ phương trình sau
\(a+b+ab=5\) <=> \(a+b=5-ab\)
\(a^2+b^2=5\) <=> \(\left(a+b\right)^2=5+2ab\)
<=> \(\left(5-ab\right)^2=5+2ab\) <=> \(25-10ab+a^2b^2=5+2ab\)
<=> \(a^2b^2-12ab+20=0\) <=> \(\left(ab-2\right)\left(ab-10\right)=0\)
<=>\(ab=2\) hoặc \(ab=10\)
*ab=2 <=> \(\sqrt{-x^2+7x-6}=2\) <=> \(-x^2+7x-6=4\)
<=> \(x^2-7x+10=0\)
<=>\(\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0\) <=> x=2 hoặc x=5 ( thỏa mãn)
*ab=10 <=>\(\sqrt{-x^2+7x-6}=10\) <=> \(-x^2+7x-106=0\)
<=> \(x^2-7x+106=0\)
Phương trình này vô nghiệm
Vậy \(S=\left\{2;5\right\}\)
