Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Đình Thái

\(Q=\dfrac{x+2}{y^2}+\dfrac{y+2}{z^2}+\dfrac{z+2}{x^2}\)

Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=xyz.Tìm GTNN của Q

 

Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 3 2021 lúc 13:24

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

\(Q=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(Q\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+2\left(ab+bc+ca\right)=a+b+c+2\)

\(Q\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}+2=2+\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)


Các câu hỏi tương tự
VUX NA
Xem chi tiết
Uchiha Itachi
Xem chi tiết
Minh Đào
Xem chi tiết
Cấn Minh Khôi
Xem chi tiết
Nguyễn Hiếu
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
Dieren
Xem chi tiết