Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^0\)
=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0-\hat{BAC}\)
=>\(2\left(\hat{EBC}+\hat{ECB}\right)=180^0-\hat{BAC}\)
=>\(\hat{EBC}+\hat{ECB}=90^0-\frac12\cdot\hat{BAC}\)
Xét ΔBEC có \(\hat{BEC}+\hat{EBC}+\hat{ECB}=180^0\)
=>\(\hat{BEC}=180^0-90^0+\frac12\cdot\hat{BAC}=90^0+\frac12\cdot\hat{BAC}\)
Xét (O) có \(\hat{DAC};\hat{DBC}\) là các góc nội tiếp chắn cung DC
Do đó: \(\hat{DAC}=\hat{DBC}=\frac12\cdot\hat{ABC}\)
Xét (O) có \(\hat{FAB};\hat{FCB}\) là các góc nội tiếp chắn cung FB
Do đó: \(\hat{FAB}=\hat{FCB}=\frac12\cdot\hat{ACB}\)
\(\hat{FAD}=\hat{FAB}+\hat{BAC}+\hat{DAC}\)
\(=\frac12\cdot\left(\hat{ABC}+\hat{ACB}\right)+\hat{BAC}=\frac12\left(180^0-\hat{BAC}\right)+\hat{BAC}=90^0+\frac12\cdot\hat{BAC}\)
=>\(\hat{FAD}=\hat{FED}\)
Xét (O) có
\(\hat{AFC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\hat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
sđ cung AC=sđ cung AB
Do đó: \(\hat{AFC}=\hat{ADB}\)
Xét tứ giác AFED có
\(\hat{AFE}=\hat{ADE}\)
\(\hat{FAD}=\hat{FED}\)
Do đó: AFED là hình bình hành
Ta có: \(\hat{FAB}=\frac12\cdot\hat{ACB}\)
\(\hat{DAC}=\frac12\cdot\hat{ABC}\)
mà \(\hat{ACB}=\hat{ABC}\) (ΔABC cân tại A)
nên \(\hat{FAB}=\hat{DAC}\)
Xét ΔABC có
BE,CE là các đường phân giác
BE cắt CE tại E
Do đó: E là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
=>AE là phân giác của góc BAC
=>\(\hat{BAE}=\hat{CAE}\)
\(\hat{FAE}=\hat{FAB}+\hat{BAE}\)
\(\hat{DAE}=\hat{DAC}+\hat{CAE}\)
mà \(\hat{FAB}=\hat{DAC};\hat{BAE}=\hat{CAE}\)
nên \(\hat{FAE}=\hat{DAE}\)
=>AE là phân giác của góc FAD
Xét hình bình hành AFED có AE là phân giác của góc FAD
nên AFED là hình thoi
