Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Biết xác suất làm đúng k câu của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị lớn nhất của k là?
Giả sử học sinh đó làm đúng k câu thì làm sai 50-k câu
Xác suất làm đúng mỗi câu là \(\dfrac{1}{4}\) và sai là \(\dfrac{3}{4}\)
Do đó xác suất đúng k câu là:
\(C_{50}^k.\left(\dfrac{1}{4}\right)^k.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-k}\)
Xác suất lớn nhất khi: \(\left\{{}\begin{matrix}C_{50}^k.\left(\dfrac{1}{4}\right)^k.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-k}\ge C_{50}^{k+1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k+1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{49-k}\\C_{50}^k\left(\dfrac{1}{4}\right)^k\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-k}\ge C_{50}^{k-1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k-1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{51-k}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{50!}{k!\left(50-k\right)!}.\left(\dfrac{3}{4}\right)\ge\dfrac{50!}{\left(k+1\right)!.\left(49-k\right)!}.\left(\dfrac{1}{4}\right)\\\dfrac{50!}{k!\left(50-k\right)!}.\left(\dfrac{1}{4}\right)\ge\dfrac{50!}{\left(k-1\right)!.\left(51-k\right)!}.\left(\dfrac{3}{4}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(k+1\right)\ge50-k\\51-k\ge3k\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{47}{4}\le k\le\dfrac{51}{4}\)
\(\Rightarrow k=12\)
