Một cốc hình trụ có khối lượng 180g bên trong có vạch chia thể tích, một vạch tương ứng với 20\(cm^3\) . khi cốc không chứa gì thì trọng tâm của cốc nằm ở vạch chia thứ tám kể từ đáy cốc. Tìm khối lượng nước cần đổ vào để trọng tâm của cốc ở vị trí thấp nhất, xác định vị trí ấy. Cho khối lượng riêng của nước là \(D=\dfrac{1g}{cm^3}\) .
(Em đi tham khảo nhưng không rõ lắm nên em không tiện chụp lại)
Gọi O là trọng tâm chung của cốc và nước ở vị trí y vạch.
Giả sử độ cao nước đổ vào là x vạch, thì trọng tâm \(O_2\) của nước ở vị trí \(\dfrac{x}{2}\) vạch.
Gọi \(O_1\) là trọng tâm của cốc khi không chứa gì, ở vị trí vạch thử 8.
\(P_1;P_2\) lần lượt là trọng lượng của cốc và nước.
Áp dụng quy tắc hợp lực song song ta có:
\(P_1.OO_1=P_2.OO_2\)
\(\Rightarrow180\left(8-y\right)=20.x\left(y-\dfrac{x}{2}\right)\\ \Rightarrow144-18y=2xy-x^2\\ \Rightarrow2y\left(x+9\right)=x^2+144\\ \Rightarrow y=\dfrac{x^2+144}{2\left(x+9\right)}\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{x^2-81}{2\left(x+9\right)}+\dfrac{225}{2\left(x+9\right)}=\dfrac{x-9}{2}+\dfrac{225}{2\left(x+9\right)}\\ \Rightarrow y=\dfrac{x+9}{2}+\dfrac{225}{2\left(x+9\right)}-9\\ \Rightarrow y+9=\dfrac{x+9}{2}+\dfrac{225}{2\left(x+9\right)}\left(\text{*}\right)\)
Từ (*)ta nhận thấy để trọng tâm O ở vị trí thấp nhất nghĩa là \(y_{min}\) hay \(\left(y+9\right)_{min}\). Theo bất đẳng thức Cô - si ta có:
\(y+9=\dfrac{x+9}{2}+\dfrac{225}{2\left(x+9\right)}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x+9\right).225}{2.2\left(x+9\right)}}=15\\ \Rightarrow y_{min}=15-9=6\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+9}{2}=\dfrac{225}{2\left(x+9\right)}\\ \Leftrightarrow x^2+18x-144=0\)
Giải pt trên tìm được \(x=6\left(cm\right)\)
Vậy lượng nước cần đổ vào ở vạch chia thứ 6, hay khối lượng nước cần đổ vào là \(m_2=6.20.1=120\left(g\right)\)
Liệu có phải lớp 8????? Sao em không biết gì hay do em quên kiến thức. Chị là một CTV thì cho vào câu hỏi hay đi, như thế sẽ có nhiều người giải hơn. Riêng em thì khoản Lý em ngu sẵn.
Chúc chị học tốt!
