Question

Like và follow fanpage để cập nhật những tin tức mới nhất về cuộc thi nha. Các bạn hãy giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi :>

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Nếu bạn muốn đề xuất câu hỏi xuất hiện trong chuyên mục này các bạn hãy gửi qua form để nhận được sự ưu tiên giúp đỡ đến từ cộng đồng :> Chuyên mục đang cần câu hỏi hay, mong các bạn ủng hộ :>

[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

[Toán.C27 _ 22.1.2021]

Người biên soạn câu hỏi: Võ Phan Phương Ngọc

Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn  P không trùng với O). Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.

[Toán.C28 _ 22.1.2021]

Người biên soạn câu hỏi: Trung Chanh Trinh

Trích Đề thi HSG Toán 9, tỉnh Quảng Bình, 2020-2021:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\).

Chứng minh: \(\dfrac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left[\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\dfrac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\dfrac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right]\)

Answer 1

Cái này thi Tiếng Anh có giải không ạ

Answer 2

C27.Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P vàkhông trùng với AB .

 

Kẻ \(OH\perp CD\)

 

\(\Delta OHP\) vuông tại H\(\Rightarrow\) OH < OP \(\Rightarrow\) CD > AB

 

Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất.

Answer 3

C28 để em cho.

Đặt \(\left(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right);\left(x,y,z>0\right)\) thì \(x+y+z=2.\)

Cần chứng minh: \(\sum\dfrac{x^2+y^2}{x+y}\le4\left[\sum\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\right]\)

Ta sẽ chứng minh theo hướng: \(VT\le\dfrac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x+y+z}\le\sum\dfrac{\left(y+z-x\right)^2}{x}=VP\)

Rõ ràng bất đẳng thức bên trái là quen thuộc.

Ta chỉ cần chứng minh:

\(\sum\dfrac{\left(y+z-x\right)^2}{x}\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x+y+z}\quad\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT_{\left(1\right)}\ge\dfrac{\left[\sum\left(y+z-x\right)\left(y+z\right)\right]^2}{\sum x\left(y+z\right)^2}\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x+y+z}\)

Bất đẳng thức cuối tương đương:

\({\dfrac { \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) \left( 4\,{x}^{3}+{x} ^{2}y+{x}^{2}z+x{y}^{2}-18\,xyz+x{z}^{2}+4\,{y}^{3}+{y}^{2}z+y{z}^{2}+ 4\,{z}^{3} \right) }{ \left( {x}^{2}y+{x}^{2}z+x{y}^{2}+6\,xyz+x{z}^{2 }+{y}^{2}z+y{z}^{2} \right) \left( x+y+z \right) }}\geq 0, \)

Hiển nhiên theo AM-GM.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ hay $\cdots$