Question

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y+y=2\\x^2+\frac{1}{x^2}+x^2y^2=3\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

$x^2y+y=2\Rightarrow x^2y^2+y^2=2y$

$\Leftrightarrow x^2y^2=2y-y^2$. Thay vào PT $(2)$:

$x^2+\frac{1}{x^2}+2y-y^2=3$
$\Leftrightarrow (x^2+\frac{1}{x^2}-2)-(y^2-2y+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})^2-(y-1)^2=0$

$\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=y-1$ hoặc $x-\frac{1}{x}=1-y$

Nếu $x-\frac{1}{x}=y-1\Leftrightarrow y=x-\frac{1}{x}+1$

Theo PT $(1)$ thì $y=\frac{2}{x^2+1}$

Do đó: $\frac{2}{x^2+1}=x-\frac{1}{x}+1$

$\Rightarrow x^4-1+x^3-x=0$

$\Leftrightarrow (x^3-1)(x+1)=0$

$\Rightarrow x=\pm 1$

$\Rightarrow y=1$

Trường hợp $x-\frac{1}{x}=1-y$ thực hiện tương tự.

Cuối cùng ta thu được $(x,y)=(\pm 1,1)$