Nối A với C, B với D
* Xét \(\Delta\)ABC có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE=EB\\BF=FC\end{matrix}\right.\)
=> EF là đường trung bình của \(\Delta\)ABC
=> EF // AC và EF = \(\dfrac{AC}{2}\)
Xét \(\Delta\)ADC có: \(\left\{{}\begin{matrix}AH=HD\\DG=GC\end{matrix}\right.\)
=> HG là đường trung bình của \(\Delta\)ADC
=> HG // AC và HG = \(\dfrac{AC}{2}\)
=> HG = EF và HG // EF
Xét tứ giác EFGH có: HG = EF và HG // EF
=> Tứ giác EFGH là hình bình hành (1)
* Xét \(\Delta\)ABD có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE=EB\\AH=HD\end{matrix}\right.\)
=> EH là đường trung bình của \(\Delta\)ABD
=> EH = \(\dfrac{BD}{2}\)
Lại có hình thang cân ABCD => BD = AC
=> \(\dfrac{BD}{2}\) = \(\dfrac{AC}{2}\)
=> EH = EF (2)
Từ (1) và (2) => Hình bình hành EFGH là hình thoi
Nối B với D
Xét ΔABD có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{E là trung điểm của AB}\\\text{H là trung điểm của AD}\end{matrix}\right.\)
⇒ HE là đường trung bình của ΔABD
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{HE // BD}\\HE=\dfrac{1}{2}BD\end{matrix}\right.\)(1)
Xét ΔBCD có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{F là trung điểm của BC }\\\text{G là trung điểm của CD }\end{matrix}\right.\)
⇒ FG là đường trung bình của ΔBCD
⇒\(\left\{{}\begin{matrix}\text{ FG // BD}\\FG=\dfrac{1}{2}BD\end{matrix}\right.\)(2)
Từ (1), (2) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{HE = FG}\\\text{HE // FG}\end{matrix}\right.\)
Xét tứ giác EFGH có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{HE = FG}\\\text{HE // FG}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác EFGH là hình bình hành (tứ giác của một cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau là hình bình hành) (đpcm)
Mình đọc nhầm đề bài
. Chứng minh típ nè!!!
Vì hình thang ABCD cân
⇒ AD = BC
Nối A với C
Xét ΔABC có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{E là trung điểm của AB}\\\text{F là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ EF là đường trung bình của ΔABC
⇒ EF = \(\dfrac{1}{2}\)AC
Mà AC = BD
⇒ EF = \(\dfrac{1}{2}\)BD
Mà HE = \(\dfrac{1}{2}\)BD
⇒ EF = HE
Vì EFGH là hình bình hành có EF = HE
⇒ EFGH là hình thoi (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!! 
