Hình bạn tự vẽ nhé!
Ta có: \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow AEDF\) là hình chữ nhật
mà \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow AEDF\) là hình vuông.
\(\Leftrightarrow AF\)//\(ED\), \(AE\)//\(DF\) và \(ED=DF=AE=AF\)
Xét \(\Delta ABC\) ta có: \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}AB=\frac{2}{3}AC\\AC=\frac{3}{2}AB\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào \(\Delta_vABC\) ta có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2+3\right)^2=AB^2+\left(\frac{3}{2}AB\right)^2\)
\(\Leftrightarrow25=AB^2+\frac{9}{4}AB^2\)
\(\Leftrightarrow25=\frac{13}{4}.AB^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=25.\frac{4}{13}\)
\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{\frac{100}{13}}=\frac{10\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)
Ta lại có: \(AC=\frac{3}{2}.AB=\frac{3}{2}.\frac{10\sqrt{13}}{13}=\frac{15\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)
Vì \(DF\)//\(AE\left(cmt\right)\) nên theo hệ quả của định lý Ta- let ta có:
\(\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow DF=\frac{AB.DC}{BC}=\frac{\frac{10\sqrt{13}}{13}.3}{5}=\frac{6\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)=ED=AE\)
\(\frac{FC}{AC}=\frac{DF}{AB}\Rightarrow FC=\frac{AC.DF}{AB}=\frac{\frac{15\sqrt{3}}{13}.\frac{6\sqrt{13}}{13}}{\frac{10\sqrt{13}}{13}}=\frac{9\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)
Mặc khác: \(EB=AB-AE\)
\(\Leftrightarrow EB=\frac{10\sqrt{13}}{13}-\frac{6\sqrt{13}}{13}=\frac{4\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)
Vậy \(S_{DEB}+S_{DFC}=\left(\frac{1}{2}.DE.EB\right)+\left(\frac{1}{2}.DF.FC\right)\)
=\(\left(\frac{1}{2}.\frac{6\sqrt{13}}{13}.\frac{4\sqrt{13}}{13}\right)+\left(\frac{1}{2}.\frac{6\sqrt{13}}{13}.\frac{9\sqrt{13}}{13}\right)\)
=\(\frac{12}{13}+\frac{27}{13}=\frac{39}{13}=3\left(cm^2\right)\)
