a) \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}-\dfrac{1}{AB^2}\)
\(=\dfrac{1}{4,8^2}-\dfrac{1}{6^2}=\dfrac{1}{64}\)
\(\Rightarrow AC^2=64\)
\(\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A
\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\) (Pytago)
\(=6^2+8^2=100\)
\(\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)
\(\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow\widehat{C}\simeq37^0\)
b) Do D là hình chiếu của H lên AB
\(\Rightarrow DH\perp AB\)
\(\Delta AHB\) vuông tại H, có HD là đường cao
\(\Rightarrow AH^2=AD.AB\) (1)
Do E là hình chiếu của H lên AC
\(\Rightarrow HE\perp AC\)
\(\Delta AHC\) vuông tại H, có HE là đường cao
\(\Rightarrow AH^2=AE.AC\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)
c) Ta có:
\(AH^2=AD.AB\) (cmt)
\(\Rightarrow AD=\dfrac{AH^2}{AB}=\dfrac{4.8^2}{6}=3,84\left(cm\right)\)
\(AH^2=AE.AC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{4,8^2}{8}=2,88\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow S_{ADE}=\dfrac{AD.AE}{2}=5,5296\left(cm^2\right)\)
\(S_{ABC}=\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{6.8}{2}=24\left(cm^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\dfrac{5,5296}{24}=0,2304\) (3)
Ta có:
\(\sin^2B.\sin^2C=\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=\left(\dfrac{8}{10}\right)^2.\left(\dfrac{6}{10}\right)^2=0,2304\) (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\sin^2B.\sin^2C\)
