1.
\(A=n^3-4n^2+4n-1\)
- Với \(n=0;2\Rightarrow A=-1< 0\left(ktm\right)\)
- Với \(n=1\Rightarrow A=0\left(ktm\right)\)
- Xét với \(n\ge3\Rightarrow A=\left(n-1\right)\left(n^2-3n+1\right)\)
Do \(n\ge3\Rightarrow n-1\ge2\Rightarrow A\) luôn có ít nhất 1 ước số lớn hơn 1 là \(n-1\)
\(\Rightarrow A\) là SNT khi và chỉ khi \(n^2-3n+1=1\) đồng thời \(n-1\) là SNT
Từ \(n^2-3n+1=1\Leftrightarrow n^2-3n=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\left(l\right)\\n=3\end{matrix}\right.\)
Với \(n=3\Rightarrow n-1=2\) là SNT (thỏa mãn)
Vậy \(n=3\)
2.
\(B=n^3-6n^2+9n-2\)
- Với \(n=0;3\Rightarrow B=-2< 0\) (ktm do SNT phải dương)
- Với \(n=1\Rightarrow B=2\) là SNT (thỏa mãn)
- Với \(n=2\Rightarrow B=0\) (ktm)
- Xét với \(n\ge4\)
\(\Rightarrow B=\left(n-2\right)\left(n^2-4n+1\right)\)
Do \(n\ge4\Rightarrow n-2\ge2\Rightarrow B\) luôn có ít nhất 1 ước dương lớn hơn 1 là \(n-2\)
\(\Rightarrow\) B là SNT khi và chỉ khi \(n^2-4n+1=1\) và \(n-2\) là 1 SNT
Ta có: \(n^2-4n+1=1\Leftrightarrow n^2-4n=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\left(l\right)\\n=4\end{matrix}\right.\)
Với \(n=4\Rightarrow n-2=2\) là SNT (thỏa mãn)
Vậy \(n=\left\{1;4\right\}\)
Câu 3 đề sai, biểu thức đó ko tách thành nhân tử được
4.
\(D=n^4+3n^3+5n^2-4n+8=\left(n^2-n+1\right)\left(n^2+4n+8\right)\)
Do \(n^2-n+1=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
Và \(n^2+4n+8=\left(n+2\right)^2+4>4\)
Nên D luôn có ít nhất 3 ước dương
\(\Rightarrow\) D là SNT khi và chỉ khi \(n^2-n+1=1\) và \(n^2+4n+8\) là SNT
Ta có: \(n^2-n+1=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(n=0\Rightarrow n^2+4n+8=8\) ko phải SNT (loại)
- Với \(n=1\Rightarrow n^2+4n+8=13\) là SNT (tm)
Vậy \(n=1\)
5.
\(A=n^3-n^2+n-1=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)
Do \(n^2+1-\left(n-1\right)=n^2-n+2=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)
\(\Rightarrow n^2+1>n-1\)
\(\Rightarrow\) A là SNT khi và chỉ khi \(n-1=1\) và \(n^2+1\) là SNT
Ta có: \(n-1=1\Rightarrow n=2\)
\(\Rightarrow n^2+1=5\) là SNT (thỏa mãn)
Vậy \(n=2\)
Câu 2: câu này đề sai
Do x;y nguyên dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\y\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}yx^2\ge1\\yx\ge1\\y\ge1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow yx^2+yx+y\ge3>1\)
Nên ko thể tồn tại x;y nguyên dương để \(yx^2+yx+y=1\)
Hay nói cách khác pt hiển nhiên vô nghiệm
Nếu đề yêu cầu là tìm nghiệm nguyên (ko quan tâm âm dương) thì còn có thể giải ra
