1.
\(y'=6x^2+6\left(m-1\right)x+6\left(m-2\right)=6\left(x+1\right)\left(x+m-2\right)\)
\(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-m+2\end{matrix}\right.\)
Phương trình nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 3 khi:
\(\left|-1-\left(-m+2\right)\right|>3\)
\(\Leftrightarrow\left|m-3\right|>3\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6\\m< 0\end{matrix}\right.\)
2.
\(y'=-3x^2+6x+m-1\)
\(\Delta'=9+3\left(m-1\right)>0\Rightarrow m>-2\)
Gọi \(x_1;x_2\) là 1 nghiệm của pt \(-3x^2+6x+m-1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=\dfrac{-m+1}{3}\end{matrix}\right.\)
Hàm đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 khi:
\(\left|x_1-x_2\right|>1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2>1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2>1\)
\(\Leftrightarrow4-\dfrac{-4m+4}{3}>1\)
\(\Rightarrow m>-\dfrac{5}{4}\) \(\Rightarrow m=-1\)
Có đúng 1 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn
3.
\(y'=x^2+6\left(m-1\right)x+9\)
\(\Delta'=9\left(m-1\right)^2-9>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)
Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6\left(m-1\right)\\x_1x_2=9\end{matrix}\right.\)
\(\left|x_1-x_2\right|=6\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=108\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=108\)
\(\Leftrightarrow36\left(m-1\right)^2-36=108\)
\(\Rightarrow\left(m-1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-1\end{matrix}\right.\)
Có 1 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn
4.
Bài toán thỏa mãn khi \(\forall x\in\left(3;5\right)\) ta có:
\(y'\ge0\Leftrightarrow x^2-3x+m^2+5m+6\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+5m+6\ge-x^2+3x\)
\(\Leftrightarrow m^2+5m+6\ge\max\limits_{\left(3;5\right)}\left(-x^2+3x\right)\)
Xét hàm \(g\left(x\right)=-x^2+3x\) trên \(\left(3;5\right)\)
\(g'\left(x\right)=-2x+3< 0\) ; \(\forall x\in\left(3;5\right)\Rightarrow g\left(x\right)\) nghịch biến trên (3;5)
\(\Rightarrow g\left(x\right)< g\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow m^2+5m+6\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge-2\\m\le-3\end{matrix}\right.\) (B)
5.
\(y'=x^2+2\left(m+1\right)x+4\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-4>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)
Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của \(x^2+2\left(m+1\right)x+4=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)
Hàm nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng \(2\sqrt{5}\) khi:
\(\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=20\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=20\)
\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-16=20\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-4+2=-2\)
6.
Hàm số đã cho là hàm bậc 3 có hệ số \(a=-\dfrac{1}{3}< 0\) nên luôn có khoảng đồng biến có chứa hữu hạn số nguyên
\(\Rightarrow B\)
7.
\(y'=6x^2+6\left(m-1\right)x+6\left(m-2\right)=6\left(x+1\right)\left(x+m-2\right)\)
\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-m+2\end{matrix}\right.\)
Hàm nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3 khi:
\(\left|-1-\left(-m+2\right)\right|>3\)
\(\Leftrightarrow\left|m-3\right|>3\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6\\m< 0\end{matrix}\right.\)
Do m nguyên dương và nhỏ hơn 2018 \(\Rightarrow7\le m\le2018\)
Có \(2018-7+1=2012\) giá trị nguyên của m
8.
Đặt \(tanx=t\Rightarrow t\in\left(0;1\right)\)
Do \(y=tanx\) đồng biến trên các khoảng xác định nên \(y=\dfrac{tanx-3m+2}{tanx-m}\) đồng biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) khi \(y=\dfrac{t-3m+2}{t-m}\) đồng biến trên \(\left(0;1\right)\)
\(y'=\dfrac{-m-\left(-3m+2\right)}{\left(t-m\right)^2}=\dfrac{2\left(m-1\right)}{\left(t-m\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)
Có \(18-2+1=17\) giá trị nguyên của m thỏa mãn
9.
\(y'=-4x^3+2\left(2m-3\right)x\)
Hàm nghịch biến trên \(\left(1;2\right)\) khi với mọi \(x\in\left(1;2\right)\) ta có:
\(-4x^3+2\left(2m-3\right)x\le0\) (1)
\(\Leftrightarrow2m-3\le2x^2\) (2)
\(\Rightarrow2m-3\le\min\limits_{\left(1;2\right)}\left(2x^2\right)\)
\(\Rightarrow2m-3\le2\)
\(\Rightarrow m\le\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=5\\q=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p+q=7\)
Giải thích 1 chút xíu chỗ từ (1) xuống (2), do chỉ xét trên khoảng (1;2) tức là x dương, do đó \(-4x^3+2\left(2m-3\right)x\le0\Leftrightarrow\left(2m-3\right)x\le2x^3\)
Do x dương nên ta có thể chia 2 vế cho x (để cô lập m) mà không ảnh hưởng đến chiều của BPT
\(\Rightarrow2m-3\le2x^2\)
Nhưng nếu bài toán cho 1 khoảng khác có chứa giá trị x âm, ví dụ \(x\in\left(-1;2\right)\) mà làm thế này là sai.
10.
\(y'=\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x-m\right)-\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-m\right)^2}=\dfrac{x^2-2mx-m-1}{\left(x-m\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:
- Điều kiện 1: \(m\ge-3\)
- Điều kiện 2:
Với mọi \(x\in\left(-\infty;-3\right)\) ta luôn có:
\(x^2-2mx-m-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-1\ge m\left(2x+1\right)\)
\(\Rightarrow m\ge\dfrac{x^2-1}{2x+1}\) (với \(x< -3\Rightarrow2x+1< 0\) do đó khi chia qua phải đổi chiều BPT)
\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{x< -3}\dfrac{x^2-1}{2x+1}\)
Đặt \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-1}{2x+1}\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{2\left(x^2+x+1\right)}{\left(2x+1\right)^2}>0;\forall x\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(x\right)< f\left(-3\right)=-\dfrac{8}{5}\Rightarrow m\ge-\dfrac{8}{5}\) (D)
11.
\(y'=m+\dfrac{3}{x^4}+6x^2\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi với mọi \(x>0\) ta có:
\(m+\dfrac{3}{x^4}+6x^2\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{x^4}+6x^2\ge-m\)
\(\Rightarrow-m\le\min\limits_{x>0}\left(\dfrac{3}{x^4}+6x^2\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{3}{x^4}+6x^2=3\left(\dfrac{1}{x^4}+x^2+x^2\right)\ge3.3\sqrt[3]{\dfrac{x^4}{x^4}}=9\)
\(\Rightarrow-m\le9\Rightarrow m\ge-9\) (A)
12.
Đặt \(cosx=t\Rightarrow t\in\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
Do hàm \(cosx\) nghịch biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)\) nên \(y=\dfrac{mcosx+1}{cosx+m}\) đồng biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)\) khi \(y=\dfrac{mt+1}{t+m}\) nghịch biến trên \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
\(y'=\dfrac{m^2-1}{\left(t+m\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1< 0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1< 0\\\left[{}\begin{matrix}-m\ge1\\-m\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{2}\le m< 1\) (C)
13.
Đặt \(cosx=t\Rightarrow t\in\left(-1;0\right)\)
Do \(cosx\) nghịch biến trên \(\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\) nên hàm nghịch biến trên \(\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\) khi \(y=\dfrac{t-3}{t-m}\) đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\)
\(y'=\dfrac{-m+3}{\left(t-m\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m+3>0\\\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le m< 3\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
