Lời giải:
ĐKXĐ: \(-1\leq x\leq 1\)
PT \(\Leftrightarrow (x-1)(x+1)+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-1=0\)
Đặt \(\sqrt{1+x}=a; \sqrt{1-x}=b(a,b\geq 0)\). Khi đó ta có:
\(\left\{\begin{matrix} -b^2a^2+a+b-1=0\\ a^2+b^2=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=a^2b^2+1\\ (a+b)^2=2+2ab\end{matrix}\right.(*)\) \(\Rightarrow 2+2ab=(a^2b^2+1)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+2a^2b^2-2ab-1=0\)
\(\Leftrightarrow t^4+2t^2-2t-1=0\) (\(ab=t)\)
\(\Leftrightarrow (t^2-1)(t^2+1)+2t(t-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (t-1)[(t+1)(t^2+1)+2t]=0\)
Vì \(a,b\geq 0\Rightarrow t=ab\geq 0\)
\(\Rightarrow (t+1)(t^2+1)+2t>0\) , tức là khác $0$
\(\Rightarrow t-1=0\Rightarrow t=ab=1\). Thay vào $(*)$ suy ra $a+b=2$
Áp dụng đl Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-2X+1=0$
Suy ra \(a=b=1\Rightarrow x=0\) là nghiệm duy nhất của pt.
