Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thái Viết Nam

Giải phương trình:

\(\sqrt{2x+\sqrt{x+1}+1}+\sqrt{2x-\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x+1}+1\)

Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 2 2019 lúc 21:47

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1+\sqrt{17}}{8}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+\sqrt{x+1}+1}=a>0\\\sqrt{2x-\sqrt{x+1}}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=2x+\sqrt{x+1}+1-2x+\sqrt{x+1}=2\sqrt{x+1}+1\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(a+b=a^2-b^2\Leftrightarrow a+b=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b-1\right)=0\Leftrightarrow a=b+1\) (do \(a+b>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+\sqrt{x+1}+1}=\sqrt{2x-\sqrt{x+1}}+1\)

\(\Leftrightarrow2x+\sqrt{x+1}+1=2x-\sqrt{x+1}+1+2\sqrt{2x-\sqrt{x+1}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=\sqrt{2x-\sqrt{x+1}}\)

\(\Leftrightarrow x+1=2x-\sqrt{x+1}\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=x-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x+1=\left(x-1\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x^2-3x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=3\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=3\)


Các câu hỏi tương tự
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Mai Thị Thanh Xuân
Xem chi tiết
long bi
Xem chi tiết
Đinh Thị Ngọc Anh
Xem chi tiết
Mai Thanh Xuân
Xem chi tiết
Thảo Nguyễn
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Mai Thị Thanh Xuân
Xem chi tiết