Nhận thấy \(cosx=1\Leftrightarrow x=k2\pi\) là nghiệm của pt
- Với \(cosx< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT=2^{\left|sinx\right|}+\left|sinx\right|\ge\left|sinx\right|\\VP=sin^2x+cosx< sin^2x\le\left|sinx\right|\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Pt vô nghiệm
- Với \(cosx\ge0\Rightarrow cosx=\sqrt{1-sin^2x}\)
Đặt \(\left|sinx\right|=t\in\left[0;1\right]\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=2^t+t-t^2-\sqrt{1-t^2}\) trên \(\left[0;1\right]\)
\(f'\left(t\right)=2^t.ln2+1-2t+\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\)
Do \(t\in\left[0;1\right]\Rightarrow\sqrt{1-t^2}\le1\Rightarrow\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\ge t\)
\(\Rightarrow f'\left(t\right)\ge2^t.ln2+1-2t+t=2^t.ln2+\left(1-t\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t\right)=0\) không nhiều hơn 1 nghiệm
Vậy pt có họ nghiệm duy nhất \(x=k2\pi\)
