Xét trên tập số nguyên:
- Với \(\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-1\\y=-2\\y=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\) (thỏa mãn)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}y>0\\y< -3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^{2017}-1=\sqrt{y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)}\)
Do vế trái nguyên \(\Rightarrow\) pt có nghiệm khi và chỉ khi vế phải là số nguyên hay \(S=y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)\) là số chính phương
Ta có: \(S=y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)
Đặt \(y^2+3y=a\), do \(\left[{}\begin{matrix}y>0\\y< -3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+2a>a^2\\a^2+2a< a^2+2a+1\end{matrix}\right.\)
\(S=a\left(a+2\right)=a^2+2a\Rightarrow a^2< S< \left(a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow S\) nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp nên S không chính phương
\(\Rightarrow\) Pt đã cho vô nghiệm khi \(\left[{}\begin{matrix}y>0\\y< -3\end{matrix}\right.\)
