ĐKXĐ : \(2\le x,y,z\le4\)
Từ hệ phương trình ta suy ra được
\(\Sigma x+\Sigma\sqrt{x-2}+\Sigma\sqrt{4-x}=\Sigma x^2-5\Sigma x+33\\ \Leftrightarrow\Sigma\left(x^2-6x+9\right)+6=\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\\ \Leftrightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2+6=\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\le\sqrt{2\left(A+B\right)}\)
\(\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\le\Sigma\sqrt{2\left(x-2+4-x\right)}=\Sigma2=6\)
\(\Rightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2+6\le6\Rightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2\le0\)
Mà \(\Sigma\left(x-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2=\left(y-3\right)^2=\left(z-3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x=y=z=3\)
Thay vào ta thấy thỏa mãn -> x=y=z=3 là nghiệm hpt
