Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Tấn Dũng

giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy-x-y=5\\\dfrac{1}{x^2-2x}+\dfrac{1}{y^2-2y}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 11 2018 lúc 2:54

\(\left\{{}\begin{matrix}xy-x-y+1=6\\\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2-1}+\dfrac{1}{\left(y-1\right)^2-1}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=6\\\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2-1}+\dfrac{1}{\left(y-1\right)^2-1}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2-1}+\dfrac{1}{\left(y-1\right)^2-1}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=a\\y-1=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.b=6\Rightarrow b=\dfrac{6}{a}\\\dfrac{1}{a^2-1}+\dfrac{1}{b^2-1}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-1}+\dfrac{1}{\dfrac{36}{a^2}-1}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-1}+\dfrac{a^2}{36-a^2}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a^4-16a^2+36=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2=8+2\sqrt{7}\\a^2=8-2\sqrt{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\pm\sqrt{8+2\sqrt{7}}=\pm\left(\sqrt{7}+1\right)\\a=\pm\sqrt{8-2\sqrt{7}}=\pm\left(\sqrt{7}-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(x=a+1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{7}\\x=-\sqrt{7}\\x=\sqrt{7}\\x=2-\sqrt{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=\dfrac{6}{a}+1=\left[{}\begin{matrix}\sqrt{7}\\2-\sqrt{7}\\2+\sqrt{7}\\-\sqrt{7}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ đã cho có 4 cặp nghiệm thỏa mãn:

\(\left(x;y\right)=\left(2+\sqrt{7};\sqrt{7}\right)\),\(\left(-\sqrt{7};2-\sqrt{7}\right)\),\(\left(\sqrt{7};2+\sqrt{7}\right)\) ,\(\left(2-\sqrt{7};-\sqrt{7}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Thu Trang
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
Trần Ích Bách
Xem chi tiết
Machiko Kayoko
Xem chi tiết
google help
Xem chi tiết
Nấm Chanel
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết