Lời giải:
Ta có:
\(x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)\)
\(=(x+y)[(x^4+y^4+2x^2y^2)-xy(x^2+y^2)-x^2y^2]\)
\(=(x+y)[(x^2+y^2)^2-xy(x^2+y^2)-x^2y^2]\)
\(=(x+y)(25-5xy-x^2y^2)\) (thay \(x^2+y^2=5\) )
Do đó:
\(x^5+y^5=11(x+y)\Leftrightarrow (x+y)(25-5xy-x^2y^2)=11(x+y)\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(14-5xy-x^2y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(2-xy)(xy+7)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ xy=2\\ xy=-7\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x+y=0\). Kết hợp với \(x^2+y^2=5\) ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x+y=0\\ x^2+y^2=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-y\\ x^2+y^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x,y)=\left(\sqrt{\frac{5}{2}};-\sqrt{\frac{5}{2}}\right);\left(-\sqrt{\frac{5}{2}};\sqrt{\frac{5}{2}}\right)\)
Nếu \(xy=2\). Ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=5\\ xy=2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=5+2xy=9\\ xy=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 3\\ xy=2\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Vi-et đảo thì (x,y) là nghiệm của pt \(x^2-3x+2=0\) và \(x^2+3x+2=0\) hay \((x,y)=(2,1);(1;2); (-1;-2);(-2;-1)\)
Nếu \(xy=-7\) ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=5\\ xy=-7\end{matrix}\right.\Rightarrow (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=5+2(-7)<0\) (vô lý) nên th này không tìm được $x,y$ thỏa mãn
Vậy........
