Lời giải:
PT $(1)$:
\(\Leftrightarrow (x^2+4x+4)-y^2=2(\sqrt{y}-\sqrt{x+2})\)
\(\Leftrightarrow (x+2)^2-y^2=2(\sqrt{y}-\sqrt{x+2})(*)\)
Nếu $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}=0\Rightarrow y=x+2=0$
$\Rightarrow y=0; x=-2$. Thay vào PT $(2)$ thấy không thỏa mãn (loại)
Nếu $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}>0$:
$(*)\Leftrightarrow (x+2-y)(x+2+y)=2.\frac{y-(x+2)}{\sqrt{y}+\sqrt{x+2}}$
$\Leftrightarrow (x+2-y)\left[x+2+y+\frac{2}{\sqrt{y}+\sqrt{x+2}}\right]=0$
Dễ thấy với mọi $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$ thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn lớn hơn $0$
Do đó $x+2-y=0\Rightarrow x+2=y$
Thay vào PT $(2)$:
$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$
\(\Leftrightarrow 4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8\)
\(\Leftrightarrow 4(\sqrt{x+2}-2)+(\sqrt{22-3x}-4)=x^2-4\)
\(\Leftrightarrow 4.\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{3(x-2)}{\sqrt{22-3x}+4}=(x-2)(x+2)\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{3}{\sqrt{22-3x}+4}-(x+2)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{4}{3}-(\frac{3}{\sqrt{22-3x}+4}-\frac{1}{3})-(x+1)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{-4(x+1)}{3\sqrt{x+2}+2)(\sqrt{x+2}+1)}-\frac{3(x+1)}{3(\sqrt{22-3x}+4)(5+\sqrt{22-3x})}-(x+1)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)(x+1)\left[\frac{-4}{.....}-\frac{3}{.....}-1\right]=0\)
Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm nên $(x-2)(x+1)=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-1$
Với $x=2\rightarrow y=x+2=4$
Với $x=-1\rightarrow y=x+2=1$
