Đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le7\\-1\le y\le7\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế của 2 hệ phương trình ta được:
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{7-x}+\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}=8\)(1)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{7-x}\)=\(1.\sqrt{x+1}+1.\sqrt{7-x}\) \(\le\) \(\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+1+7-x\right)}\) \(\le\) 4
Tương tự ta có: \(\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}\le4\)
Suy ra \(\sqrt{x+1}+\sqrt{7-x}+\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}\le8\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x+1}}{1}=\dfrac{\sqrt{7-x}}{1}\\\dfrac{\sqrt{y+1}}{1}=\dfrac{\sqrt{7-y}}{1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3\end{matrix}\right.\) thỏa mãn
Vậy x=3;y=3 là nghiệm của hệ phương trình
