Question

giải giùm mình

Answer 1

Lời giải:

Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thì phương trình \(y'=-3x^2+6mx+3(1-m^2)=0\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0\)

phải có hai nghiệm phân biệt.

Trước tiên \(\Delta'=m^2-(m^2-1)=1>0\)

Theo định lý Viet, hai điểm cực đại cực tiểu có hoành độ \(x_1,x_2\) thỏa mãn

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

Để tồn tại cực trị thuộc trục hoành thì \(y_1y_2=0\)

Dựa vào \(x_1,x_2\) là nghiệm của \(x^2-2mx+m^2-1=0\) ta rút gọn bớt $y$ như sau:

\(-y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-m^3+m^2=x(1-m^2)-mx^2+3(m^2-1)x-m^3+m^2\)

\(2(m^2-1)x-mx^2-m^3+m^2=-m(x^2-2mx)-2x-m^3+m^2\)

\(=-m(1-m^2)-2x-m^3+m^2=-2x-m+m^2\)

Do đó mà:

\(y_1y_2=(2x_1+m-m^2)(2x_2+m-m^2)=0\Leftrightarrow 4(m^2-1)+4m(m-m^2)+(m-m^2)^2=0\)

\(\Leftrightarrow (m-1)(m^3-5m^2+4m+4)=0\)

\(\Leftrightarrow (m-1)(m-2)(m^2-3m-2)=0\)

Vì điểm cực tiểu thuộc trục hoành nên \(x_{CT}=\frac{m^2-m}{2}< m\Rightarrow m^2<3m\Rightarrow x^2-3m-2\neq 0\)

\(\Rightarrow m\in\left\{1,2\right\}\).