Question

giải các hệ phương trình sau:

a)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{1-x}{2y+1}}+\sqrt{\dfrac{2y+1}{1-x}}=2\\x-y=1\end{matrix}\right.\)

b)\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=\left|2y-1\right|\\y+1=2x\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Câu a)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm:

\(\sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}+\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}.\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}}=2\sqrt{1}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}=\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}\Rightarrow \frac{1-x}{2y+1}=\frac{2y+1}{1-x}\)

\(\Leftrightarrow \frac{-y}{2y+1}=\frac{2y+1}{-y}\) (do \(x-y=1\) )

\(\Rightarrow y^2=(2y+1)^2\)

\(\Leftrightarrow (2y+1-y)(2y+1+y)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=-1\\ y=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Thử lại thấy chỉ \(y=-\frac{1}{3}\) thỏa mãn kéo theo \(x=1+y=\frac{2}{3}\)

Vậy \((x,y)=(\frac{2}{3}; \frac{-1}{3})\)

Answer 2

Câu b)

Thay \(y=2x-1\) vào pt thứ nhất ta có:

\(|x-(2x-1)|=|2(2x-1)-1|\)

\(\Leftrightarrow |1-x|=|4x-3|\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 1-x=4x-3\\ 1-x=3-4x\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{4}{5}\\ x=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=\frac{3}{5}\\ y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) (tương ứng)