Question

GIá trị lớn nhất của hàm số:

\(P=\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}\)

Answer 1

Lời giải:
Đặt $\sqrt[3]{1-x}=a; \sqrt[4]{1+x}=b$ thì bài toán trở thành:

Cho $a,b\geq 0$ thỏa mãn $a^4+b^4=2$

Tìm max $P=ab+a+b$

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:

$2=a^4+b^4\geq 2a^2b^2\Rightarrow ab\leq 1$

$a^4+b^4\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)^2$

$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2$

$\Rightarrow 2=a^4+b^4\geq \frac{(a+b)^4}{8}$

$\Rightarrow (a+b)^4\leq 16$

$\Rightarrow a+b\leq 2$

Do đó: $P=ab+a+b\leq 1+2=3$

Vậy $P_{\max}=3$ khi $a=b=1\Leftrightarrow x=0$