(Em không biết cách làm bài này ạ. Mn giúp em với ạ!!!)
Có 28 phần thưởng gồm 9 cuốn sách (giống nhau), 8 cuốn số (giống nhau), và 11 chiếc bút (giống nhau) được phát cho 14 học sinh giỏi, mỗi người nhận được 2 phần thưởng khác loại. An và Bình là hai trong số 14 học sinh được nhận thưởng. Hỏi có bao nhiêu cách phát phần thưởng cho 14 học sinh đó để An và Bình được nhận phần thưởng có loại giống nhau?
Đáp án: 51744
Có 3 loại hình thức nhận thưởng: sách+sổ, sách+bút, sổ+bút
Gọi số học sinh nhận được phần thưởng thuộc 3 loại nói trên lần lượt là x;y;z
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=9\\x+z=8\\y+z=11\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=6\\z=5\end{matrix}\right.\)
Hay chúng ta có 3 bạn nhận thưởng sách+sổ, 6 bạn nhận sách+bút, 5 bạn nhận sổ+bút
Như vậy có 3 TH để An và Bình nhận thưởng giống nhau là:
- An Bình cùng nhận sách sổ: còn lại 12 bạn, chọn 6 bạn nhận sách bút có \(C_{12}^6\) sách, còn lại 6 bạn, chọn 5 bạn nhận sổ bút có \(C_6^5\) cách, còn 1 bạn, chọn 1 bạn nhận sách sổ có \(C_1^1\) cách \(\Rightarrow C_{12}^6.C_6^5.C_1^1\) cách
- An Bình nhận sách bút: tương tự như trên ta có \(C_{12}^3.C_9^4.C_5^5\) cách
- An Bình nhận bút sổ: \(C_{12}^3.C_9^6.C_3^3\) cách
Tổng: \(51744\) cách
Gọi a là số học sinh nhận được sách và sổ ; b là số học sinh nhận được sách và bút ; c là số học sinh nhận được sổ và bút. Ta có : \(a+b=9,a+c=8,b+c=11\)
Giải ra ta được \(a=3,b=6,c=5\)
Xét ba trường hợp sau : TH 1 : An và Bình cùng nhận được sách và sổ. Có 3 người cùng nhận được sách và sổ, trong đó có An và Bình. Vì vậy cần chọn ra 1 người trong só 12 học sinh để nhận sách và sổ suy ra có \(C_{12}^1\) cách chọn. Sau đó chọn ra 6 em trong số 11 học sinh còn lại để nhận sách và bút và 5 học sinh còn lại nhận sổ và bút. Vậy số kết quả trong TH này là: \(C_{12}^1.C^6_{12}\)
TH 2 : An và Bình cùng nhận được sách và bút. Lập luận tương tự TH 1 ta có số kết quả trong TH này là : \(C_{12}^4.C_8^3\)
TH 3 : An và Bình cùng nhận được sổ và bút. Số kết quả trong TH này là :\(C_{12}^3.C_9^3\). . Vậy có: \(C_{12}^1.C_{12}^6+C_{12}^4.C_8^3+C_{12}^3.C_9^3=51744\) cách phát phần thưởng thỏa mãn bài toán.
Đáp án: \(51744\)
