Question

Đề bài :

Cho phương trình : x² - 2(m-1)x +2m-5 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn : x₁ < 2 < x₂

Answer 1

Lời giải:

a)

Ta thấy: \(\Delta'=(m-1)^2-(2m-5)=m^2-4m+6\)

\(=(m-2)^2+2\geq 0+2>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$ thực

b)

Áp dụng định lý Viete với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

Khi đó, để \(x_1< 2< x_2\Leftrightarrow (x_1-2)(x_2-2)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-2(x_1+x_2)+4< 0\)

\(\Leftrightarrow 2m-5-4(m-1)+4< 0\)

\(\Leftrightarrow -2m+3< 0\Leftrightarrow m>\frac{3}{2}\)