Chứng minh:
Giả sử: \(n^2+2014\) là số chính phương thì ta có:
\(n^2+2014=a^2\)\((a\) \(\in N\)*\()\)
\(\Leftrightarrow a^2-N^2=2014\)
\(\Leftrightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2014\)
Ta có 2 trường hợp như sau:
+ Trường hợp 1: a và n có 1 số chẵn và 1 số lẻ
\(\Leftrightarrow a+n\) và \(a-n\) luôn có dạng là \(2k+1\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)\)luôn là số lẻ (1)
Mà 2014 lại là số chẵn (2)
Ta dễ dàng nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vì \(\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2014\) nên \(a\) và \(n\) không thể là 1 số chẵn 1 số lẻ (*)
+ Trường hợp 2: \(a\) và \(n\) cũng chẵn hoặc cùng lẻ
\(\Leftrightarrow a+n=\left(2k+1\right)+\left(2q+1\right)=4\left(k+q\right)+2⋮2\)\((k;q\) \(\in\) \(N*\)\()\)
Tương tự ta cũng có được \(a-n⋮2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)\((\)vì \(2.2=4)\)
mà \(2014⋮4̸\) (4)
Ta thấy (3) mẫu thuẫn với (4) (vì \((a−n)(a+n)=2014\)\()\) nên \(a\) và \(n\) không thể cùng chẵn cùng lẻ (**)
TỪ (*) và (**) suy ra: Không tồn tại \(n\in N\)để \(n^2+2014\) là số chính phương
