Question

Có hai ống hình trụ, ống thứ nhất đựng nước đá đã đông đặc đến độ cao 40cm, ống thứ hai đựng nước lỏng ở 4^oC có độ cao 10cm. Rót nước ở ống thứ hai sang nước đá ống thứ nhất. Khi cân bằng nhiệt, mực nước ở ống thứ nhất dâng thêm 0,2cm so với lúc vừa rót. Tính nhiệt độ ban đầu của nước đá?

Cho biết nhiệt dung riêng của nước lỏng là 4200J/kg.K, nhiệt dung riêng của nước đá là 2000J/kg.K, khối lượng riêng của nước lỏng là 1000kg/m³, khối lượng riêng của nước đá là 900kg/m³. Nhiệt nóng chảy của nước đá là 3,4.10⁵J/kg. Bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường và ống đựng.

Answer 1

Tóm tắt:

h₁ = 40cm = 0,4m ; t₁ ; c₁ = 2000J/kg.K ; D₁ = 900kg/m³

h₂ = 10cm = 0,1m ; t₂ = 4^oC ; c₂ = 4200J/kg.K ; D₂ = 1000kg/m³

\(\Delta h=0,2cm=0,002m\); \(\lambda\) = 3,4.10⁵J/kg

________________________________________________________

t₁ = ?

Giải

Do khối lượng riêng của nước đá nhỏ hơn khối lượng riêng của nước lỏng nên khi đổ nước lỏng vào nước đá mà độ cao mực nước khi cân bằng nhiệt cao hơn lúc mới đổ thì có nghĩa là một phần nước lỏng đã bị động đặc lại vì khối lượng nước vẫn giữ nguyên mà khối lượng riêng của nước giảm thì thể tích nước tăng.

Gọi tiết diện ống 1 là S, chiều cao phần nước lỏng sẽ bị đông đặc là h, sau khi đông đặc thì phần nước này chuyển thành nước đá và có chiều cao \(h+\Delta h\)

Do khối lượng phần nước đá sau khi đông đặc bằng với khối lượng phần nước lỏng trước khi đông đặc nên:

\(S\left(h+\Delta h\right).D_1=S.h.D_2\\ \Rightarrow\left(h+\Delta h\right).D_1=h.D_2\\ \Rightarrow h=\dfrac{D_1.\Delta h}{D_2-D_1}=\dfrac{900.0,002}{1000-900}=0,018\left(m\right)\)

Do khi đổ nước lỏng vào ống 1, một phần nước lỏng đã bị đông đặc và nước lỏng chưa bị đông đặc hết nên nhiệt độ cân bằng của hai nước là 0^oC.

Nhiệt lượng nước lỏng cần tỏa ra để hạ nhiệt độ xuống 0^oC là:

\(Q_1=S.h_2.D_2.c_2.\left(t_2-0\right)\)

Lúc này nước lỏng đã ở 0^oC và có một phần nước đông thành đá, nhiệt lượng phần nước lỏng cao h cần tỏa ra để đông đặc thành nước đá ở 0^oC là:

\(Q_2=S.D_2.h.\lambda\)

Nhiệt lượng nước đá trong ống cần thu vào để tăng nhiệt độ từ t₁ lên 0^oC là:

\(Q_3=S.h_1.D_1.c_1\left(0-t_1\right)\)

Theo phương trình cân bằng nhiệt thì nhiệt lượng nước lỏng tỏa ra để hạ nhiệt độ xuống 0^oC và đông đặc bằng nhiệt lượng nước đá thu vào.

\(\Rightarrow Q_1+Q_2=Q_3\\ \Rightarrow S.h_2.D_2.c_2\left(t_2-0\right)+S.h.D_2.\lambda=S.h_1.D_2.c_1\left(0-t_1\right)\\ \Rightarrow h_2.D_2.c_2.\left(t_2-0\right)+h.D_2.\lambda=h_1.D_1.c_1.\left(0-t_1\right)\\ \Rightarrow t_1=\dfrac{h_2.D_2.c_2\left(t_2-0\right)+h.D_2.\lambda}{-h_1.D_1.c_1}\\ \Rightarrow t_1=\dfrac{0,1.1000.4200.\left(4-0\right)+0,018.1000.3,4.10^5}{-0,4.900.2000}\approx-10,833\left(^oC\right)\)

Vậy nhiệt độ ban đầu của nước đá là -10,833^oC