Question

Cmr pt \(x^2-2mx+2010.2011=0\) không có nghiệm nguyên với mọi m thuộc Z

Answer 1

Theo định lý Vi - et, ta có:

$x_1 + x_2 = 2m \, (1)$ $x_1.x_2 = 2010.2011 \, (2)$

Giả sử phương trình đó có nghiệm nguyên.

- Vì $m \in Z$ nên từ (1), suy ra: $x_1$ và $x_2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. (Nói đúng hơn là cùng có dạng 2k hoặc 2k + 1).

- Mặt khác: $x_1.x_2 = 2010.2011$ nên suy ra, hai nghiệm này cùng chẵn.

Vì vậy: $x_1.x_2 $ $\vdots$ $4$. Mà $2011.2010$ $\not \vdots$ $4$.

Vậy, điều giả sử là sai. Tức là phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.