Đặt a+b = x , c+d = y
Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi x , y
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^4}{16}\ge x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^4}{16}\ge\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2\ge4ab.4cd\) ( vi (a+b)^2 \(\ge\) 4ab )
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^4}{16}\ge16abcd\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^4}{256}\ge abcd\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd\)
Vay \(\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd\) .
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)\(\Leftrightarrow a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\)
đúng theo AM*-gm
giải bất phương trình : a+b+c+d lớn hơn hoặc bằng 4*căn bậc bốn của a*b*c*d . Với a,b,c,d đều không âm | Yahoo Hỏi & Đáp
