Giả sử a ≥ b \(\Rightarrow\)a=b+c(c<b<a)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)=\(\frac{b+c}{b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)=1+\(\frac{c}{b}\)+\(\frac{b}{b+c}\) ≥ 1+\(\frac{c}{b+c}\)+\(\frac{b}{b+c}\)=2(Vì \(\frac{c}{b}\)>\(\frac{c}{b+c}\))
Suy ra :\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)≥2
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)≥2
a,b khác 0+a,b cùng dấu nha.
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}.\text{Mà: a,b cùng dấu và a,b khác 0 nên: ab lớn hơn 0}.Xét:a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b.\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge\frac{2ab}{ab}=2\left(\text{đpcm}\right).\text{ Dấu "=" xảy ra khi: a=b}\)
