Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\)
\(\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2n+1}{3n+2}\) toois giản
Gọi d là ƯCLN(2n + 1;3n + 2)
=> 2n + 1 chia hết cho d => 3(2n + 1) = 6n + 3 chia hết cho d
3n + 2 chia hết cho d => 2(3n + 1) = 6n + 2 chia hết cho d
=> [(6n + 3) - (6n + 2)] chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> \(d=\left[{}\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right.\)
Vậy phân số \(\dfrac{2n+1}{3n+1}\) là phân số tối giản với mọi n thuộc Z
Gọi ƯCLN(2n + 1; 3n + 2) là d.
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow6n+4-6n-3⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)
Vì d = 1 hay ƯCLN(2n + 1; 3n + 2) = 1
\(\Rightarrow\dfrac{2n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản.
