Question

Chứng minh rằng :

                       \(x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt{x}+1>0,\forall\ge0\)

Hướng dẫn : Đặt \(\sqrt{x}=t\), xét hai trường hợp : \(0\le x< 1;x\ge1\)

Answer 1

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t\ge0\right)\) ta có:

\(f\left(t\right)=t^8-t^5+t^2-t+1\)

*)Với \(t=0;t=1\Rightarrow f\left(t\right)=1>\)

*)Với \(0\le t< 1\) thì \(f\left(t\right)=t^8+\left(t^2-t^5\right)+1-t\)

\(\left\{{}\begin{matrix}t^8>0\\1-t>0\\t^2-t^5=t^3\left(1-t\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow f\left(t\right)>0\)

*)Với \(t\ge1\) thì \(f\left(t\right)=t^5\left(t^3-1\right)+t\left(t-1\right)+1>0\)

Vậy \(f\left(t\right)>0\forall t\ge0\Rightarrow x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt{x}+1>0\forall x\ge0\)