Lời giải:
Xét hiệu:
\(x^2+y^2+z^2-\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}{3}=\frac{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz}{3}\)
\(=\frac{(x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2zx)}{3}=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{3}\geq 0, \forall x,y,z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$ hay $x=y=z$
cho x,y,z > 0 . Cmr: \(\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{y^4}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{x^2\left(y+z\right)}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Cho 3 số thực x,y,z phân biệt. Chứng minh rằng: \(\dfrac{x^2}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(z-x\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(x-y\right)^2}>=2\)
Cho x,y,z >0. Chứng minh \(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\) ≥ x2 + y2 + z2
Cho \(x;y;z\) là các số thực dương . Chứng minh rằng \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\)
Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+z^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
cho x, y, z >0 thỏa mãn x+y+z=1
chứng minh rằng :\(\dfrac{3}{xy+yz+xz}+\dfrac{2}{x^{2^{ }}+y^{2^{ }}+z^{2^{ }}}\)≥14
cho \(z\ge y\ge x\ge0.CM:\)
\(y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{y}\left(x+z\right)\le\left(x+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)
cho 3 số thực dương z;y;z thỏa mãn x+y+z<hoạc = 3/2
tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
1) Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng:
√x2 + xy + y2 + √y2 + yz + z2 + √z2 + zx + x2 ≥ (x + y + z)* √3
2) Cho a + b ≥ 0, chứng minh rằng:
(a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) ≤ 4(a9 + b9)
