Question

Chứng minh rằng :

x² + y² + 1 > = xy + x + y

Answer 1

ta luôn luôn có \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\left(1\right)\)

\(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(2\right)\)

\(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow y^2+1\ge2y\left(3\right)\)

lấy (1)+(2)+(3)\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)

rút 2 đi suy ra đpcm

Answer 2

Đơn giản thôi

\(x^2+y^2\ge2xy\) ( 1)

Áp dụng BĐT cô si :

\(y^2+1\ge2y\) (2)

\(x^2+1\ge2x\) (3 )

Cộng (1) (2 ) ( 3 ) \(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+1\right)\ge2\left(xy+x+y\right)\)

\(\LeftrightarrowĐPCM.\)