Question

Chứng minh rằng với x,y khác 0 ta có

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Answer 1

bn áp dụng BĐT \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)

Answer 2

Nếu để cho dễ hiểu thì bn áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số k âm

Answer 3

Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\Rightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2\ge4\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge2\)

=>\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\ge2+4-3.2=0\)

=> đpcm

Answer 4

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4-3.\dfrac{x}{y}-3.\dfrac{y}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}-2.\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y}+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right).\dfrac{x}{y}+\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right).\dfrac{y}{x}-\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\ge0\)

Xét \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\Rightarrow\)BĐT luôn đúng. Vậy ta có đpcm

Tiếp tục xét các khoảng của x,y rồi cũng kết luận được BĐT đúng